Question

19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知∠AOB=60°，AC=6，则矩形ABCD的面积是9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据矩形性质得出∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，得出等边三角形AOB，求出AB=OA=3，根据勾股定理求出BC，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC=6，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，BO=OD=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=3，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=3×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；
故答案为：9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点熟练掌握矩形的性质，证明三角形AOB是等边三角形是解决问题的关键．