Question

16．在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BCD=120°，现将一个30°角的顶点落在点A处．
（1）如图①，当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF=BE+DF；
（2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段BE与DF之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索）

Answer 1

分析 （1）延长CB到H点，使BH=DF，连接AH，先证△ABH≌△ADF，再证△HAE≌△FAE即可解决问题；
（2）如图②，在BC上截取BH=DF，证得△ABH≌△ADF，然后证得△HAE≌△FAE，即可得到结论．

解答 解：（1）如图①，
延长CB到H点，使BH=DF，连接AH，
∵∠B=∠D=90°，∠BCD=120°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠ABE+∠ABH=180°，
∴∠ABH=∠D，
∵AD=AB，BH=DF，
∴在△ABH和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=DF}\\{∠ABH=∠D}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴AH=AF，∠HAB=∠FAD，
∵∠DAB=60°，∠FAE=30°，
∴∠FAD+∠BAE=30°，
∴∠BAE+∠HAB=30°，即∠HAE=30°，
在△HAE和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠HAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴HE=EF，
∵HE=HB+BE=DF+BE，
∴EF=BE+DF；

（2）（1）中的结论不成立，
如图②，在BC上截取BH=DF，
在△ABH与△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF=90°}\\{BH=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADF，
∴∠BAH=∠DAF，AH=AF，
∴∠EAF=30°，
∴∠BAH+∠EAD=30°，
∵∠B=∠D=90°，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°，
∴∠HAE=30°，
在△HAE与△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠HAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△FAE，
∴HE=EF，
∵BE=BH+HE，
∴BE=DF+EF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键在于正确地作出辅助线，证明相关的三角形全等．