Question

20．已知抛物线y₁=ax²-4ax+3（a≠0）与y轴交于点A，A、B两点关于对称轴对称，直线OB分别与抛物线的对称轴相交于点C．
（1）直接写出对称轴及B点的坐标；
（2）已知直线y₂=bx-4b+3（b≠0）与抛物线的对称轴相交于点D．
①判断直线y₂=bx-4b+3（b≠0）是否经过点B，并说明理由；
②若△BDC的面积为1，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根据顶点公式即可求得对称轴，令x=0，求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得B的坐标；
（2）①把B的坐标代入即可判断；②求得OB的解析式，即可求得C的坐标，根据C的坐标和三角形的面积即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线为y₁=ax²-4ax+3（a≠0），
∴对称轴是直线x=-$\frac{-4a}{2×a}$=2，
令x=0，则y=3，
∴A（0，3），
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴B点的坐标为（4，3）；
（2）①经过，
理由：把x=4代入直线y₂=bx-4b+3（b≠0）点y₂=3，
故直线y₂=bx-4b+3（b≠0）是否经过点B；
②∵B（4，3），
∴直线OB为：y=$\frac{3}{4}$x，
把x=2代入得y=$\frac{3}{2}$，
∴C（2，$\frac{3}{2}$），
∵△BDC的面积为1，
∴$\frac{1}{2}$CD•（4-2）=1，
∴CD=1，
∴D（2，$\frac{5}{2}$）或（2，$\frac{1}{2}$），
把（2，$\frac{5}{2}$）代入y₂=bx-4b+3得$\frac{5}{2}$=2b-4b+3，
解得b=$\frac{1}{4}$；
把（2，$\frac{1}{2}$）代入y₂=bx-4b+3得$\frac{1}{2}$=2b-4b+3，
解得b=$\frac{5}{4}$，
∴b的值为$\frac{1}{4}$或$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及三角形面积等，根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得C和D的坐标是解题的关键．