Question

19．如图所示，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA₁=OB₁，连结A₁B₁，在B₁A₁、B₁B上分别取点A₂、B₂，使B₁B₂=B₁A₂，连结A₂B₂…按此规律下去，记∠A₂B₁ B₂=θ₁，∠A₃B₂B₃=θ₂，…，∠A_n+1B_n B_n+1=θ_n，则θ₂₀₁₆-θ₂₀₁₅的值为（　　）

• A． $\frac{180°+α}{{2}^{2015}}$
• B． $\frac{180°-α}{{2}^{2015}}$
• C． $\frac{180°+α}{{2}^{2016}}$
• D． $\frac{180°-α}{{2}^{2016}}$

Answer 1

分析 根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A₁B₁O，再根据平角等于180°列式用α表示出θ₁，再用θ₁表示出θ₂，并求出θ₂-θ₁，依此类推求出θ₃-θ₂，…，θ₂₀₁₃-θ₂₀₁₂，即可得解．

解答 解：∵OA₁=OB₁，∠AOB=α，
∴∠A₁B₁O=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴$\frac{1}{2}$（180°-α）+θ₁=180，
整理得，θ₁=$\frac{180°+a}{2}$，
∵B₁B₂=B₁A₂，∠A₂B₁B₂=θ₁，
∴∠A₂B₂B₁=$\frac{1}{2}$（180°-θ₁），
∴$\frac{1}{2}$（180°-θ₁）+θ₂=180°，
整理得θ₂=$\frac{180°+{θ}_{1}}{2}$=$\frac{3×180°+a}{4}$，
∴θ₂-θ₁=$\frac{3×180°+a}{4}$-$\frac{180°+a}{2}$=$\frac{180°-a}{4}$=$\frac{180°-a}{{2}^{2}}$，
同理可求θ₃=$\frac{180°+{θ}_{2}}{2}$=$\frac{7×180°+a}{8}$，
∴θ₃-θ₂=$\frac{7×180°+a}{8}$-$\frac{3×180°+a}{4}$=$\frac{180°-a}{8}$=$\frac{180°-a}{{2}^{3}}$，
…，
依此类推，θ₂₀₁₆-θ₂₀₁₅=$\frac{180°-a}{{2}^{2016}}$．
故选D．

点评 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．