Question

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F．
（1）求F的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之和．

Answer 1

考点：二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求一次函数解析式,三角形的面积

专题：计算题

分析：（1）先把解析式配成顶点式得到顶点M的坐标是（1，4），对称轴是直线x=1，则点E的坐标是（0，4），再求出B（3，0），然后利用待定系数法求出直线BE的解析式为y=-

4

3

x+4，再计算x=1时所对应的一次函数值即可确定F点坐标；
（2）先计算出EM=1，MF=4-

8

3

=

4

3

，FN=

8

3

，BN=3-1=2，然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：（1）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点M的坐标是（1，4），对称轴是直线x=1，
∵ME⊥y轴，
∴点E的坐标是（0，4），
解方程-x²+2x+3=0得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
把B（3，0），E（0，4）代入得

3k+b=0 b=4

，解得

k=- 4 3 b=4

，
∴直线BE的解析式为y=-

4

3

x+4，
∵当x=1时，y=-

4

3

x+4=

8

3

，
∴所以F的坐标是（1，

8

3

）；
（2）由（1）可得EM=1，MF=4-

8

3

=

4

3

，FN=

8

3

，BN=3-1=2，
S_△EFM+S_△BNF=

1

2

•1•

4

3

+

1

2

•2•

8

3

=

10

3

．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了待定系数法求一次函数解析式．