Question

4．如图，锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD是高，E为AD上一点，BE=AC．
（1）求证：DE=DC；
（2）若∠BAC=70°，求∠ABE度数．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BDE和Rt△ADC中，根据HL证明全等即可．
（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；

解答 （1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBA=∠DAB=45°，
∴BD=AD，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{BE=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴DE=DC．

（2）解：∵∠BAC=70°，∠DAB=45°，
∴∠DAC=25°，
∵△BDE≌△ADC，
∴∠DBE=∠DAC=25°，
∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=45°-25°=20°．

点评 本题考查等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．