Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE=DF，连接AE、EC、CF、FA．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB=AD，求证：四边形AECF为菱形；
（3）在（2）的条件下，连接AC交BD于点O，若AB：BE：AO=5：1：3．求证：四边形AECF为正方形．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥EF，从而得到AC⊥BD，所以?ABCD需要满足是菱形，即邻边相等；
（3）在（2）的条件下∠AOB=90°，由勾股定理得BO=4k，可得EO=BO-BE=3k，可得AO=EO=OF，得到∠OAE=∠OEA=45°，∠OAF=∠OFA=45°，进一步得到∠EAF=∠OAE+∠OAF=90°，再根据正方形的判定可得四边形AECF是正方形．

解答 证明：（1）如图，连接AC交BD于点O，
在?ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

（2）在?ABCD中，∵AB=AD，
∴?ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形．

（3）在（2）的条件下∠AOB=90°，
∵AB：BE：AO=5：1：3，
设AB=5k，则AO=3k，BE=k，
由勾股定理得BO=4k，
∴EO=BO-BE=3k，
∴AO=EO，
∴AO=EO=OF，
∴∠OAE=∠OEA=45°，∠OAF=∠OFA=45°，
∴∠EAF=∠OAE+∠OAF=90°，
∵四边形AECF是菱形．
∴四边形AECF是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，作出辅助线是解题的关键．