Question

6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C在OB上运动，过点C作CE⊥AB于点E；D是x轴上一点，作菱形CDEF，当顶点F恰好落在y轴正半轴上时，点C的纵坐标的值为$\frac{56}{57}$．

Answer 1

分析 设C（0，m）．由DF∥AB，CF=BF=DE=$\frac{8-m}{2}$，根据cos∠CBE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{8}{10}$，可得BE=$\frac{4}{5}$（8-m），推出AE=10-$\frac{4}{5}$（8-m），由DE∥OB，推出∠ADE=∠AOB=90°，推出sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$，可得$\frac{\frac{8-m}{2}}{10-\frac{4}{5}（8-m）}$=$\frac{4}{5}$，解方程即可解决问题．

解答 解：如图，设C（0，m）．

∵四边形EFCD是菱形，
∴DF⊥CE，CP=PE，
∵CE⊥AB，
∴DF∥AB，CF=BF=DE=$\frac{8-m}{2}$，
∵cos∠CBE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{8}{10}$，
∴BE=$\frac{4}{5}$（8-m），
∴AE=10-$\frac{4}{5}$（8-m），
∵DE∥OB，
∴∠ADE=∠AOB=90°，
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{8-m}{2}}{10-\frac{4}{5}（8-m）}$=$\frac{4}{5}$，
∴m=$\frac{56}{57}$，
故答案为$\frac{56}{57}$．

点评 本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．