Question

17．已知：如图，选段AB=4，以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，联结PC，过点C作CD∥AB，且CD=PC，过点D作DE∥PC，交射线PB于点E，PD与CE相交于点Q．
（1）若点P与点A重合，求BE的长；
（2）设PC=x，$\frac{PD}{CE}$=y，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域；
（3）当点Q在半圆O上时，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC．只要证明△AOC是等腰直角三角形即可．
（2）由PC=x，OC=2，可得OP=$\sqrt{{x}^{2}-4}$，OE=x-$\sqrt{{x}^{2}-4}$，由四边形PCDE是菱形，推出PD⊥EC，CQ=QE，PQ=QD，由$\frac{PD}{CE}$=$\frac{PQ}{QE}$=y，推出tan∠PEQ=$\frac{PQ}{QE}$=$\frac{OC}{OE}$，由此即可解决问题．
（3）由点Q在⊙O上，∠CQP=90°，推出∠CQP所以对的弦CM是直径，由∠M+∠OPM=90°，∠QPE+∠QEP=90°，∠OPM=∠QPE，推出∠M=∠QEP，易知∠PCM=∠M，∠PCQ=∠PEQ，推出∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接OC．

∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴CO⊥AB，△AOC是等腰直角三角形，AC=$\sqrt{2}$OC=2$\sqrt{2}$，
∵四边形ACDE是菱形，
∴AE=AC=2$\sqrt{2}$，
∴BE=AB-AE=4-2$\sqrt{2}$．

（2）如图2中，

∵PC=x，OC=2，
∴OP=$\sqrt{{x}^{2}-4}$，OE=x-$\sqrt{{x}^{2}-4}$，
∵四边形PCDE是菱形，
∴PD⊥EC，CQ=QE，PQ=QD，
∵$\frac{PD}{CE}$=$\frac{PQ}{QE}$=y，
∴tan∠PEQ=$\frac{PQ}{QE}$=$\frac{OC}{OE}$，
∴y=$\frac{x-\sqrt{{x}^{2}-4}}{2}$（2≤x≤2$\sqrt{2}$）．

（3）如图3中，

∵点Q在⊙O上，∠CQP=90°，
∴∠CQP所以对的弦CM是直径，
∵∠M+∠OPM=90°，∠QPE+∠QEP=90°，∠OPM=∠QPE，
∴∠M=∠QEP，易知∠PCM=∠M，∠PCQ=∠PEQ，
∴∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°，
在Rt△POC中，PC=OC÷cos30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、菱形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，所以中考压轴题．