Question

4．如图，△ABE中，过A、B两点的⊙O交AE于点C，CD为直径，过点D作DN∥AC分别交AB、BC于M、N，AB=AC，∠ABE=90°+∠ACD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC=6，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC，∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠ACO=∠ABO根据已知条件得到∠OBE=90°，于是得到结论；
（2）连接BD，由CD为直径，得到∠DBC=90°根据勾股定理得到BD=$\sqrt{C{D}^{2}-B{C}^{2}}$=8，根据平行线的性质得到∠ACD=∠CDN，推出∠CDN=∠BDN，根据三角形角平分线的定理得到$\frac{CD}{BD}=\frac{CN}{BN}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$，得到BN=$\frac{8}{3}$，根据勾股定理得到DN=$\sqrt{B{D}^{2}+B{N}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{3}$，根据相交弦定理即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OB，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACO=∠ABO，
∵∠ABE=90°+∠ACD，
∴∠ABE=90°+∠ABO，
∴∠OBE=90°，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，
∵CD为直径，
∴∠DBC=90°，
∵⊙O的半径为5，
∴CD=10，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵DN∥AC，
∴∠ACD=∠CDN，
∵∠ABE=90°+∠ACD，
∴∠DBE=90°+∠ACD+∠ABD=90°+2∠ACD=∠DBC+∠CBE，
∵∠CDB=∠CBE=2∠ACD=2∠CDN，
∴∠CDN=∠BDN，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{CN}{BN}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$，
∴BN=$\frac{8}{3}$，
∴DN=$\sqrt{B{D}^{2}+B{N}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{3}$，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠MDB=∠MBD，
∴BM=DM，∴BM=DM=MN，
∴DM=BM=NM=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∴AM=$\frac{DM•MN}{BM}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．