Question

如图，

直线y=kx+4与x、y轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=

4

3

，过点A的抛物线交y轴于点C，且OA=OC，并以直线x=2为对称轴，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求直线AB与抛物线的解析式；
（2）连接OP并延长到Q点，使得PQ=OP，过点Q分别作QE⊥x轴于E，QF⊥y轴于F，设点P的横坐标为x，矩形OEQF的周长为y，求y与x的函数关系．
（3）是否存在点P为圆心的圆与直线AB及x轴都相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）先确定A，B，C的坐标再来求解析式；
（2）过P作PM⊥x轴于M．分①当x＜0时；②当1＜x＜3时；③当0＜x＜1或x＞3时；三种情况讨论求解即可；
（3）由切线长定理知P点在∠BAO的平分线上或它的外角平分线上．

解答：解：（1）B（0，4），OB=4，OA=3，OC=3，
直线解析式为：y=-

4

3

x+4，
抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；

（2）过P作PM⊥x轴于M．

显然PM是Rt△OQE的中位线，即OE=2OM=2|x|，QE=2PM
点P在抛物线x²-4x+3上，则P（x，x²-4x+3），QE=2PM=2|x²-4x+3|，
①当x＜0时，x²-4x+3＞0，OE=-2x，y=2[-2x+2（x²-4x+3）]=4x²-20x+12；
②当1＜x＜3时，x²-4x+3＜0，y=2[2x-2（x²-4x+3）]=-4x²+20x-12；
③当0＜x＜1或x＞3时，x²-4x+3＞0，y=2[2x+2（x²-4x+3）]=4x²-12x+12．

（3）若⊙P与直线AB及x轴都相切，
则点P在∠BAO或它的外角的平分线所在的直线上．
①设∠BAO的角平分线交y轴于D，过D作DH⊥AB于H，
则DH=DO=m，BD=4-m，AH=AO=3，BH=5-3=2
在Rt△BHD中，BD²=BH²+DH²
即（4-m）²=m²+2²，
解得：m=

3

2

，即D（0，1.5）
则直线AD的解析式为：y=-

1

2

x+

3

2

，
将其与抛物线的解析式y=x²-4x+3联立解得：

x1=3 y1=0

，

x2= 1 2 y2= 5 4

，
即P（

1

2

，

5

4

）；
②作∠BAO外角的平分线交y轴于G，
则AG⊥AD于A，则△DOA∽△AOG，故OG=2OA=6
即G（0，-6）直线DG解析式为：y=2x-6，
将其与抛物线的解析式y=x²-4x+3联立解得：

x=3 y=0

，
综上所述：存在点P（

1

2

，

5

4

），使⊙P与直线AB及x轴都相切．

点评：考查了二次函数综合题，点在图象上则它的坐标满足图象的解析式，分类讨论的思想的应用．