Question

已知点A（3，4），B（1，2），c（a，0），D（a+4，0），使四边形ABDC的周长最小，求a的值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作B点关于x轴对称点B′（1，-2），将B′向右平移4个单位到E（5，-2），连接A（3，4）和E（5，-2）与x轴的交点即点C，作B′C∥DE，交x轴于点C，则四边形ABCD即为所求，再利用待定系数法求直线AE的解析式，进而得出a的值．

解答：解：∵点A（3，4），B（1，2），c（a，0），D（a+4，0），
∴AB和CD的长度不变，求四边形ABDC最小周长时，即求AC+BD的最小值；
作B点关于x轴对称点B′（1，-2），将B′向右平移4个单位到E（5，-2），
连接A（3，4）和E（5，-2）与x轴的交点即点D，作B′C∥DE，交x轴于点C，则四边形ABCD即为所求；
设直线AE的解析式为：y=kx+b，
则

3k+b=4 5k+b=-2

，
解得：

k=-3 b=13

，
∴此直线解析式为：y=-3x+13，
当y=0，则0=-3（a+4）+13，
解得：a=

1

3

即四边形ABDC最小周长时a的值为

1

3

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．