Question

13．已知抛物线y=$\frac{1}{a}{x}^{2}+（\frac{2}{a}-1）x-2$（a＞0）与x轴交于A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
（1）若抛物线过点D（2，-2），求实数a的值．
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE+CE最小，求出点E的坐标．
（3）在第一象限内，抛物线上是否存在点M，使得以A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点D坐标代入抛物线解析式中即可；
（2）用两点之间线段最短，确定出AE+CE最小时，点E的位置即可；
（3）分两种情况同理计算，当∠MAB=∠ABC时，△ABM∽△BCA，由k_AM=k_BC，建立方程得出M（a+2，2+$\frac{8}{a}$），
再由相似三角形得出比例式建立方程求解即可；当∠MAB=∠BAC时，即：△ABM∽△ACB，由k_AC•k_AM=-1，
得出M（2a，2a+2），再用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线过点D（2，-2），
∴$\frac{1}{a}$×4+（$\frac{2}{a}$-1）×2-2=-2，
∴a=4，
（2）如图1，

∵点A，B是抛物线与x轴的交点，
∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，
∴连接BC交对称轴于点E，
∵a=4，
抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2，
∴点C（0，-2），B（4，0），对称轴x=1，
∴CB解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴E（1，-$\frac{3}{2}$）；
（3）如图2，

由（2）有，抛物线解析式为y=$\frac{1}{a}{x}^{2}+（\frac{2}{a}-1）x-2$=$\frac{1}{a}$（x+2）（x-a），
∴A（-2，0），B（a，0），C（0，-2），
∴AB=a+2，AC=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
设M（m，$\frac{1}{a}$（m-a）（m+2））；
①当∠MAB=∠ABC时，△ABM∽△BCA，
∴k_AM=k_BC，
∴$\frac{\frac{1}{a}（m-a）（m+2）}{m+2}=\frac{2}{a}$，
∴m=a+2，
∴M（a+2，2+$\frac{8}{a}$），
∵△ABM∽△BCA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BM}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{（a+2）^{2}}}{\sqrt{{a}^{2}+4}}=\frac{\sqrt{4+（2+\frac{8}{a}）^{2}}}{2\sqrt{2}}$，
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{a}+1=0$，
∴a²+2a+4=0，
∵△=4-16＜0，
∴此方程无解，
∴此种情况不存在；
②当∠MAB=∠BAC时，即：△ABM∽△ACB，
∵A（-2，0），C（0，-2），
∴∠BAC=45°，直线AC解析式为y=-x-2，
∴AC⊥AM，
∴k_AC•k_AM=-1，
∵k_AC=-1，
∴k_AM=1，
∴$\frac{\frac{1}{a}（m-a）（m+2）}{m+2}=1$，
∴m=2a，
∴M（2a，2a+2），
∵△ABM∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AB}$，
∴AB²=AC•AM，
∴（a+2）²=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{（2a+2）^{2}+（2a+2）^{2}}$=4（2a+2），
∴a²-4a-4=0，
∴a=2+2$\sqrt{2}$或a=2-2$\sqrt{2}$（由于点M在第一象限，所以舍去）
综合上述，a=2+2$\sqrt{2}$．

点评 此题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法确定解析式，函数中的最值问题，点的存在问题，确定出函数解析式是解本题的关键，点的存在问题的分析是本题的难点．计算量比较大．