Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+mx（m＞0且m≠1）与x轴交于原点O和点A，点B的坐标为（1，-1），连结AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连结OB、OC．
（1）求点A的横坐标．（用含m的代数式表示）．
（2）若m=3，则点C的坐标为（2，2）．
（3）当点C与抛物线的顶点重合时，求四边形ABOC的面积．
（4）结合m的取值范围，直接写出∠AOC的度数．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程即可．
（2）如图1中，只要证明△ADB≌△CEA即可解决问题．
（3）如图2中，由△ADB≌△CEA可得点C坐标，再利用抛物线顶点坐标公式列出方程即可解决问题．
（4）分两种情形：①O＜m＜1，②m＞1，画出图形构造全等三角形即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+mx与x轴交于点A，
∴-x²+mx=0，解得x=0或m，
∴点A的横坐标为m．
（2）如图1中，∵m=3，
∴点A坐标为（3，0），
作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．
∵∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DBA，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DBA}\\{∠CEA=∠BDA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA，
∴BD=AE=1，AD=CE=2，
∴点C坐标（2，2）．
（3）如图2中，作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．
由（2）可知△ADB≌△CEA，
∴BD=AE，AD=CE
∵B（1，-1），A（m，0），
∴OE=m-1，CE=m-1，
∴C（m-1，m-1），
∵点C（m-1，m-1）与抛物线的顶点（$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}}{4}$）重合，
∴m-1=$\frac{m}{2}$，
∴m=2．
∴S_{四边形ABOC}=$\frac{1}{2}$×2×（1+1）=2．
（4）①如图3中，当O＜m＜1时，∠AOC=135°，理由如下：

作CN⊥x轴于N，BM⊥x轴于M．
∵∠NAC+∠BAM=90°，∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠NAC=∠ABM，
在△ACN和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAC=∠ABM}\\{∠CNA=∠AMB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BAM，
∴BM=AN=1，CN=AM，
∴AN=OM=1，
∴ON=CN，
∴∠NOC=∠NC0=45°，
∴∠AOC=135°
②当m＞1时，∠AOC=45°，理由如下：

作CN⊥x轴于N，BM⊥x轴于M，∵△ACN≌△BAM，
∴BM=AN=OM=1，AM=CN，
∴ON=AM=CN，∵∠ONC=90°，
∴∠COA=45°．

点评 本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，学会分类讨论，需要之前画出图形，属于中考压轴题．