Question

3．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）²+k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值及点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出直线y=-3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x-2）²+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ²=AF²+QF²=1+m²，BQ²=BE²+EQ²=4+（3-m）²，由AQ=BQ，得到方程1+m²=4+（3-m）²，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线y=a（x-2）²+k的对称轴是x=2，
∴点A与点C关于直线x=2对称，
∴C（3，0）．
又∵抛物线y=a（x-2）²+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+k=0}\\{4a+k=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
故a，k的值分别为1，-1；

（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
在Rt△AQF中，AQ²=AF²+QF²=1+m²，
在Rt△BQE中，BQ²=BE²+EQ²=4+（3-m）²，
∵AQ=BQ，
∴1+m²=4+（3-m）²，
∴m=2，
∴Q点的坐标为（2，2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要掌握抛物线的对称性，函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，难度较大．