Question

10．甲、乙两袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标数值分别为0、-1、3，乙袋中的三张卡片上所标数值分别为-5、2、7，各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为m、n．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果；
（2）现制定这样一个游戏规则：若选出的m、n能使得方程x²+mx+n=0有实根，则称甲胜；否则称乙胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．

解答 解：（1）画树状图得：
∵（m，n）的可能结果有（0，-5）、（0，7）、（0，2）、（-1，-5）、（-1，7）、（-1，2）、（3，-5）、（3，2）及（3，7），
∴（m，n）取值结果共有9种；      

（2）∵（m，n）的可能结果有（0，-5）、（0，7）、（0，2）、（-1，-5）、（-1，7）、（-1，2）、（3，-5）、
（3，2）及（3，7），
∴当m=0，n=-5时，△=b²-4ac=20＞0，此时x²+mx+n=0有两个不相等的实数根，
当m=0，n=7时，△=b²-4ac=-28＜0，此时x²+mx+n=0没有实数根，
当m=0，n=2时，△=b²-4ac=-8＜0，此时x²+mx+n=0没有实数根，
当m=-1，n=-5时，△=b²-4ac=21＞0，此时x²+mx+n=0有两个不相等的实数根，
当m=-1，n=7时，△=b²-4ac=-27＜0，此时x²+mx+n=0没有实数根，
当m=-1，n=2时，△=b²-4ac=-7＜0，此时x²+mx+n=0没有实数根，
当m=3，n=-5时，△=b²-4ac=29＞0，此时x²+mx+n=0有两个不相等的实数根，
当m=3，n=7时，△=b²-4ac=-19＜0，此时x²+mx+n=0没有实数根，
当m=3，n=2时，△=b²-4ac=1＞0，此时x²+mx+n=0有两个不相等的实数根，
∴P（甲获胜）=P（△≥0）=$\frac{4}{9}$，P（乙获胜）=1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$，
∴P（甲获胜）＜P（乙获胜），
∴这样的游戏规则对乙有利，不公平．

点评 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．