Question

13．如图，已知C，D是反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），连结OC，OD．
（1）求证：y₁＜OC＜y₁+$\frac{m}{{y}_{1}}$；
（2）若∠BOC=∠AOD=α，tanα=$\frac{1}{3}$，OC=$\sqrt{10}$，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，反比例函数图象上是否存在一点P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作CG⊥x轴，垂直为G，则CG=y₁，OG=x₁，在Rt△OCG中，依据边长之间的关系可得到CG＜OC＜CG+OG，从而可得到问题的答案；（2）过点C作CG⊥OB，垂足为G，过点D作DH⊥OA，垂足为H，在Rt△CGO中，可求得C（1，3）的坐标，在Rt△ODH中可求得点D的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（3）反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上存在点P，使得面积S_△POC=S_△POD，这个点P就是∠COD的平分线与分比例函数y=$\frac{3}{x}$的交点．

解答 解：（1）过点C作CG⊥x轴，垂直为G，则CG=y₁，OG=x₁．

∵点C（x₁，y₁）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴x₁=$\frac{m}{{y}_{1}}$．
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，
∴y₁＜OC＜y₁+$\frac{m}{{y}_{1}}$．

（2）如图2所示：过点C作CG⊥OB，垂足为G，过点D作DH⊥OA，垂足为H．

由题意可知：在Rt△GOC中，tan∠GOC=$\frac{CG}{OG}$=$\frac{1}{3}$即$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴y₁=3x₁．
∵OC²=OG²+CG²，OC=$\sqrt{10}$，
∴10=x₁²+x₂²，即10=x₁²+（3x₁）²，解得：x₁=±1．
∵负值不和题意，
∴x₁=1，y₁=3．
∴C（1，3）．
∴m=x₁•y₁=3．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$．

在Rt△ODH中，tana=$\frac{DH}{OH}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，即x₂=3y₂，
又y₂=$\frac{3}{{x}_{2}}$，则3y₂²=3，解得：y₂=±1．
∵负值不和题意，
∴y₂=1，x₂=3．
∴D（3，1）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{3=k+b}\\{1=3k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-x+4．

（3）反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上存在点P，使得面积S_△POC=S_△POD，这个点P就是∠COD的平分线与分比例函数y=$\frac{3}{x}$的交点．
证明：∵点P在∠COD的平分线上，
∴点P到OC、OD的距离相等．
又因为OD=$\sqrt{O{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{10}$=OC，
∴S_△POC=S_△POD．

点评 本题主要考查的是反比例函数的综合应用，解答本题主要应用了锐角三角函数值、反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式、角平分线的性质，求得点C和点D的坐标是解题的关键．