题目内容
18．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA=OB=2，OC=OD=1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）（1）当OC∥AB时，旋转角α=60或240度；
发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．
应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．
分析 （1）如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△AOC≌△BOD即可．
（3）在图3、图4中，分别求解即可．
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=$\sqrt{3}$-1．
解答 解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，
此时旋转角α=60°或240°．
故答案为60或240；
（2）结论：AC=BD，理由如下：
如图2中，
∵∠COD=∠AOB=60°，
∴∠COA=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠COA=∠DOB}\\{CO=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD；
（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．
在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，
∴CH=HD=$\frac{1}{2}$，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△AOH中，
AH=$\sqrt{O{A}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴BD=AC=CH+AH=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．
易知AC=BD=AH-CH=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
综上所述，当A、C、D三点共线时，BD的长为$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$或$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$；
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=$\sqrt{3}$-1．
点评 本题考查圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．
全优点练单元计划系列答案
如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD．
如图是一副三角板拼成的图案，则∠1=105°．
如图，四边形ABCD是以原点O为对称中心的矩形，A（1，3），D（3，1），AB和CD分别与y轴交于点E、F，连接OB．
如图，已知C，D是反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），连结OC，OD．
如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=34.5米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=20米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（$\sqrt{3}$取1.73）