题目内容
3．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图②中的阴影部分的面积为（b-a）2；
（2）观察图②请你写出 （a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系是（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（3）根据（2）中的结论，若x+y=4，xy=$\frac{9}{4}$，则（x-y）2=7；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图③，你发现的等式是（a+b）•（3a+b）=3a2+4ab+b2．
分析 （1）阴影部分为边长为（b-a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；
（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（3）由（2）的结论得到（x+y）2-（x-y）2=4xy，再把x+y=4，x•y=$\frac{9}{4}$得到（x-y）2=7；
（4）观察图形得到边长为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有（a+b）•（3a+b）=3a2+4ab+b2．
解答 解：（1）阴影部分为边长为（b-a）的正方形，所以阴影部分的面积（b-a）2，
故答案为：（b-a）2；
（2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b-a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积，
所以（a+b）2-（a-b）2=4ab，
故答案为：（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（3）∵（x+y）2-（x-y）2=4xy，
而x+y=4，x•y=$\frac{9}{4}$，
∴42-（x-y）2=4×$\frac{9}{4}$，
∴（x-y）2=7，
故答案为：7；
（4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，
∴（a+b）•（3a+b）=3a2+4ab+b2．
故答案为：（a+b）•（3a+b）=3a2+4ab+b2．
点评 本题考查了完全平方公式的几何背景：利用面积法证明完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2．
练习册系列答案
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