Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交BA的延长线于E，交AC于F，求证：AD²=DE•DF．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：要证明AD²=DE•DF，只需证明△ADF∽△ADF即可．

解答：解：∵BC的垂直平分线交BC于D，
∴DA=DC，∠BAC=90°
∴∠DAC=∠DCA，
又∵∠BAC=90°，∠B+∠BED=90°，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BED，
∴∠DAC=∠BED，
在△ADF和△ADE中，

∠ADF=∠ADF ∠AED=∠DAF

，
∴△ADF∽△ADE，
∴

AD

DE

=

DF

AD

，
∴AD²=DE•DF．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．解答本题的关键在于注意掌握数形结合思想的应用．