Question

6．如图，⊙O与过点O的⊙P交于AB，D是⊙P的劣弧OB上一点，射线OD交⊙O于点E，交AB延长线于点C．如果AB=24，tan∠AOP=$\frac{2}{3}$．
（1）求⊙P的半径长；
（2）当△AOC为直角三角形时，求线段OD的长；
（3）设线段OD的长度为x，线段CE的长度为y，求y与x之间的函数关系式及其定义域．

Answer 1

分析 （1）首先设OP的延长线交AB于点H，连接AP，由垂径定理可求得AH的长，然后由三角函数，求得OH的长，再设⊙P的半径为r，由在Rt△AHP中，AH²+PH²=AP²，即可求得答案；
（2）首先过点P作PG⊥OD于点G，求得OA的长，易证得△PGO∽△OHA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（3）首先过点H作HI⊥OC于点I，可得PG∥HI，然后由平行线分线段成比例定理，求得OI，再由△OHI∽△OCH，求得答案．

解答 解：（1）设OP的延长线交AB于点H，连接AP，
∵AH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×24=12，tan∠AOP=$\frac{2}{3}$，
∴OH=$\frac{AH}{tan∠AOP}$=18，
设⊙P的半径为r，
在Rt△AHP中，AH²+PH²=AP²，
∴（18-r）²+12²=r²，
解得：r=13，
答：⊙P的半径长为13；

（2）过点P作PG⊥OD于点G，
则OA=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{8}^{2}}$=6$\sqrt{13}$，
∵∠AOC=90°，
∴∠POG+∠AOH=90°，
∵∠AOH+∠OAH=90°，
∴∠POG=∠OAH，
∴△PGO∽△OHA，
∴$\frac{OG}{AH}=\frac{OP}{OA}$，
即$\frac{OG}{12}$=$\frac{13}{6\sqrt{13}}$，
解得：OD=4$\sqrt{13}$；

（3）如图2，过点H作HI⊥OC于点I，则OE=OA=6$\sqrt{13}$，
∴PG∥HI，
∴$\frac{OG}{OI}=\frac{OP}{OH}$，
即$\frac{\frac{1}{2}x}{OI}=\frac{13}{18}$，
∴OI=$\frac{9}{13}$x，
∵∠O是公共角，∠OUH=∠OHC=90°，
∴△OHI∽△OCH，
∴$\frac{OH}{OC}=\frac{OI}{OH}$，
∴$\frac{18}{\frac{9}{13}x}=\frac{y+6\sqrt{13}}{18}$，
∴y=$\frac{468}{x}$-6$\sqrt{13}$（0＜x＜6$\sqrt{13}$）．

点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．