Question

11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）如果点E是AB的中点，AC=4，EC=2.5，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由“邻边相等的平行四边形为菱形”进行证明；
（2）根据菱形的性质和等腰三角形的性质推知△ABC是直角三角形，所以结合直角三角形的面积求法和图形得到：四边形ABCD的面积=S_△AEC+S_△EBC+S_△ACD．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，…（1分）；
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∴四边形AECD是菱形．

（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ACE，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴∠B=∠ECB，
∴∠ACE+∠ECB=90°，即∠ACB=90°；
∵点E是AB的中点，EC=2.5，
∴AB=2EC=5，
∴BC=3．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=6．
∵点E是AB的中点，四边形AECD是菱形，
∴S_△AEC=S_△EBC=S_△ACD=3．
∴四边形ABCD的面积=S_△AEC+S_△EBC+S_△ACD=9．

点评 本题考查了菱形的判定与性质．解答（2）题时，利用了菱形的性质、直角三角形的判定等知识点，借用了“分割法”求得四边形ABCD的面积．