Question

14．已知：抛物线y=x²+bx+c经过点A（2，-3）和B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G₁，求图象G₁的表达式；
（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G₂：y=ax²（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求得；
（3）由于BE∥x轴，把B、E两点坐标代入y=ax²可计算出对应的a的值，然后根据抛物线C₂：y=ax²（a≠0）与线段BE恰有一个公共点可确定a的范围．

解答 解：（1）把A（2，-3）和B（4，5）分别代入y=x²+bx+c
得：$\left\{\begin{array}{l}-3=4+2b+c\\ 5=16+4b+c\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为：y=x²-2x-3．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4．
∴顶点坐标为（1，-4）．
（2）∵将抛物线沿x轴翻折，得到图象G₁与原抛物线图形关于x轴对称，
∴图象G₁的表达式为：y=-x²+2x+3．
（3）∵B（4，5），对称轴：x=1
∴B点关于对称轴的对称点E点坐标为（-2，5），
当G₂过E点时，代入E（-2，5），则a=$\frac{5}{4}$，
当G₂过B点时，代入B（4，5），则a=$\frac{5}{16}$
所以a的取值范围为$\frac{5}{16}$≤a＜$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．