题目内容
如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以3cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动，当动点M回到点D时，M、N两点均停止运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？
（2）若点E在线段BC上，BE=1cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、M、N恰好能组成等腰梯形？
（3）若点E在线段BC上，BE=1cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、M、N恰好能组成平行四边形？
考点：矩形的性质,平行四边形的判定,等腰梯形的判定
专题：动点型
分析：（1）相遇时，M和N所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答．
（2）因为按照N的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，N一直在AD上运动，当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当M到C点时以及在BC上时，所以要分情况讨论．
（2）因为按照N的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，N一直在AD上运动，当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当M到C点时以及在BC上时，所以要分情况讨论．
解答：解：（1）设t秒时两点相遇，则有t+3t=24，
解得t=6．
答：经过6秒两点相遇．
（2）如图1，当M在E的右侧时，AN-EM=2BE=2，
∵AN=8-t，EM=8-1-（3t-4）=11-3t，
则：8-t-（11-3t）=2
解得：t=5，
M于E左侧时，AN-EM=2BM，
∵ME=1-（12-2t）=2t-11，BM=12-2t，
∴8-t-（2t-11）=2（12-2t），
解得：t=
，
∴当t=
时，点A、E、M、N组成等腰梯形．
（3）由（1）知，点N一直在AD上运动，所以当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，所以2＜t＜8，
设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：
①当M点在E点右侧，
如图2：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，
∵DN=t，CM=3t-4，
∴AN=8-t，EM=8-1-（3t-4），
∴8-t=8-1-（2t-4），
即：t-（3t-4）=1，解得t=
，
当M点在B点与E点之间，则MC=3t-4，BM=8-（3t-4）=12-3t，
∴ME=1-（12-3t）=3t-11，
3t-11=8-t，解得t=
（舍去），
∴当t=
时，点A、E、M、N组成平行四边形．
解得t=6．
答：经过6秒两点相遇．
（2）如图1，当M在E的右侧时，AN-EM=2BE=2，
∵AN=8-t，EM=8-1-（3t-4）=11-3t，
则：8-t-（11-3t）=2
解得：t=5，
M于E左侧时，AN-EM=2BM，
∵ME=1-（12-2t）=2t-11，BM=12-2t，
∴8-t-（2t-11）=2（12-2t），
解得：t=
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∴当t=
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（3）由（1）知，点N一直在AD上运动，所以当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，所以2＜t＜8，
设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：
①当M点在E点右侧，
如图2：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，
∵DN=t，CM=3t-4，
∴AN=8-t，EM=8-1-（3t-4），
∴8-t=8-1-（2t-4），
即：t-（3t-4）=1，解得t=
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当M点在B点与E点之间，则MC=3t-4，BM=8-（3t-4）=12-3t，
∴ME=1-（12-3t）=3t-11，
3t-11=8-t，解得t=
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∴当t=
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点评：本题主要考查了平行四边形的判定及性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用．
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