题目内容
若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有 个；
（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．
（3）试探究a1与a2满足的数量关系．
（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有
（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．
（3）试探究a1与a2满足的数量关系．
考点：二次函数的性质
专题：新定义
分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；
（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；
（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．
（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；
（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．
解答：解：（1）无数；
（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．
解得：x1=-1，x2=-2．
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（-2，0），（-1，0）． （3分）
②∵y=x2+3x+2=（x+
）2-
∴顶点坐标为（-
，-
）．
设以（-2，0）为顶点且经过（-
，-
）的抛物线的函数关系式为
y=a（x+2）2，
将x=-
，y=-
代入y=a（x+2）2得 a=-1．
∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=-（x+2）2=-x2-4x-4，
同理可求以（-1，0）为顶点且经过（-
，-
）的抛物线的函数关系式．
即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=-（x+1）2=-x2-2x-1；
（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（-m，n）；
y=a2（x+h）2+k，其顶点为（-h，k）．
根据“伴侣二次函数”定义可得
∴a1（-h+m）2=-a2（-m+h）2．
当-h≠m时，a1=-a2
当-h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．
（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．
解得：x1=-1，x2=-2．
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（-2，0），（-1，0）． （3分）
②∵y=x2+3x+2=（x+
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将x=-
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∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=-（x+2）2=-x2-4x-4，
同理可求以（-1，0）为顶点且经过（-
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即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=-（x+1）2=-x2-2x-1；
（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（-m，n）；
y=a2（x+h）2+k，其顶点为（-h，k）．
根据“伴侣二次函数”定义可得
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∴a1（-h+m）2=-a2（-m+h）2．
当-h≠m时，a1=-a2
当-h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．
点评：本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．
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