Question

15．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆圆周上一点，M是弧AC的中点，MN⊥AB于N，则有（　　）

• A． MN=$\frac{1}{2}$AC
• B． MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC
• C． MN=$\frac{3}{5}$AC
• D． MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC

Answer 1

分析 连接OM、OC，交AC于D，根据圆心角、弧、弦的关系证得∠AOM=∠COM，进而根据等腰三角形的性质得出OM⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，求得∠A=∠OMN，根据余弦函数得出$\frac{AD}{OA}$=$\frac{MN}{OM}$，进而等量代换即可证得MN=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：连接OM、OC，交AC于D，
∵M是弧AC的中点，
∴∠AOM=∠COM，
∵OA=OC，
∴OM⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠A+∠AOM=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠OMN+∠AOM=90°，
∴∠A=∠OMN，
∴cos∠A=cos∠OMN，
∴$\frac{AD}{OA}$=$\frac{MN}{OM}$，
∵OA=OM，AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{\frac{1}{2}AC}{OA}$=$\frac{MN}{OA}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC．
故选A．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．