问题探索(1)如图1.在正方形ABCD的内部以AD为边用尺规作等边三角形．(2)已知:如图2.等边△EFG的顶点E.F.G分别在正方形ABCD的边AD.AB.DC上(△EFG为正方形的内接正三角形).EH⊥FG于点H.连接DH.AH．求证:△AHD为等边三角形．问题解决:(3)现想用一块边长为a的正方形纸板裁剪出面积最大的等边三角形.请在图3中用尺规完成裁剪方案,直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．问题探索
（1）如图1，在正方形ABCD的内部以AD为边用尺规作等边三角形（保留痕迹，不写作法）．
（2）已知：如图2，等边△EFG的顶点E、F、G分别在正方形ABCD的边AD、AB、DC上（△EFG为正方形的内接正三角形），EH⊥FG于点H，连接DH、AH．
求证：△AHD为等边三角形．
问题解决：
（3）现想用一块边长为a的正方形纸板裁剪出面积最大的等边三角形，请在图3中用尺规完成裁剪方案（保留作图痕迹）；直接写出此时等边三角形的面积．

分析（1）分别以点A，D为圆心，AD长为半径画弧，两弧相交于点H，△ADH即为所求；
（2）根据圆内接四边形进行分析解答即可；
（3）根据画等边三角形的作法进行解答．

解答（1）解：如图1所示：△ADH即为所求；

（2）证明：如图2，易知：E、D、G、H都在⊙M上，

则∠EDH=∠EGH=60°，
同理可得：∠EAH=∠EFH=60°，
∴∠AHD=180°-∠EAH-∠EDH=60°，即∠AHD=∠EAH=∠EDH=60°，
∴△AHD为等边三角形；
（3）解：如图3，

作法：①以AD为边在正方形ABCD的内部作正△ADH，
②作射线BH交CD于点X，
③以BX为边在正方形ABCD的内部作正△BXY，
正△BXY即为面积最大的正三角形．
此时等边三角形的面积为$（{2\sqrt{3}-3}）{a^2}$．