Question

19．已知⊙O的直径CD为4，$\widehat{AC}$的度数为80°，点B是$\widehat{AC}$的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由翻折的性质可知：PB=PB′.$\widehat{BC}=\widehat{B′C}$=40°，可求得∠B′EA=60°．当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．

解答 解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．

∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB=PB′.$\widehat{BC}=\widehat{B′C}$．
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AB′}$=120°．
∴∠B′EA=60°．
∴AB′=AE•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数，求得∠B′EA=60°是解题的关键．