Question

5．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表

X	-1	0	1	3	4
y	-1	3	5	3	m

给出下列结论：
①m=-1
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
③3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根
④若ax²+（b-1）x+c＜0，则-1＜x＜3，其中正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

解答 解：①∵根据二次函数的x与y的部分对应值图
∴a-b+c=-1，c=3，a+b+c=5，
∴a-b=-4，a+b=2，
∴a=-1，b=3，
∴函数解析式为：y=-x²+3x+3，
即y=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{4}$，
∴抛物线的顶点坐标为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{21}{4}$），
当x=4时，y=-16+3×4+3=-1，
∴m=-1，
故①正确；
②∵二次函数y=ax²+bx+c开口向下，且对称轴为x=1.5，
∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
③∵x=3时，y=3，
∴9a+3b+c=3，
∵c=3，
∴9a+3b+3=3，
∴9a+3b=0，
∴3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根，故③正确；
④∵x=-1时，ax²+bx+c=-1，
∴x=-1时，ax²+（b-1）x+c=0，
∵x=3时，ax²+（b-1）x+c=0，且函数有最大值，
∴当-1＜x＜3时，ax²+（b-1）x+c＞0，故④正确．
所以正确选项有①③④．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．