Question

12．在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若m²+2mn+2n²-6n+9=0．求m和n的值．
解：因为m²+2mn+2n²-6n+9=（m²+2mn+n²）+（n²-6n+9）=（m+n）²+（n-3）²=0
所以m+n=0，n-3=0
即m=-3．n=3
问题：
（1）若x²+2xy+2y²-4y+4=0，求xy的值．
（2）若a、b、c是△ABC的长，满足a²+b²=10a+8b-41，c是△ABC中最长边的边长，且c为整数，求c的值？
（3）已知a-b=4，ab+c²-6c+13=0，则a+b+c=3．

Answer 1

分析 （1）根据x²+2xy+2y²-4y+4=0，应用因式分解的方法，判断出（x+y）²+（y-2）²=0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；
（2）首先根据a²+b²=10a+8b-41，应用因式分解的方法，判断出（a-5）²+（b-4）²=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；
（3）首先根据a-b=4，ab+c²-6c+13=0，应用因式分解的方法，判断出（a-2）²+（c-3）²=0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．

解答 解：（1）∵x²+2xy+2y²-4y+4=0，
∴（x²+2xy+y²）+（y²-4y+4）=0，
∴（x+y）²+（y-2）²=0，
∴x+y=0，y-2=0，
∴x=-2，y=2，
∴xy=（-2）×2=-4，
即xy的值是-4．
（2）∵a²+b²=10a+8b-41，
a²+b²-10a-8b+41=0，
∴（a²-10a+25）+（b²-8b+16）=0，
∴（a-5）²+（b-4）²=0，
∴a-5=0，b-4=0，
∴a=5，b=4，
∵5-4＜c＜5+4，c≥5，
∴5≤c＜9，
∴△ABC的最长边c的值可能是5、6、7、8．
（3）∵a-b=4，ab+c²-6c+13=0，
∴a（a-4）+4+（c-3）²=0，
∴（a-2）²+（c-3）²=0，
∴a-2=0，c-3=0，
∴a=2，c=3，b=a-4=2-4=-2，
∴a+b+c=2-2+3=3，
即a+b+c的值是3．
故答案为：3．

点评 （1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
（2）此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．