Question

1．两张大小相同的正方形纸片如图所示重叠放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH，对角线AE、CG分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：AE⊥CG，AE=CG．

Answer 1

分析 注意到两个正方形是相同的，过点A作AM⊥DE于M，AN⊥EF于N，于是AM=AN，从而∠AED=∠AEF，同理∠CGH=∠CGF，过C作CP⊥FG于P，证明△CGP≌△AEM即可．

解答 证明：如图，过点A作AM⊥DE于M，AN⊥EF于N，过C作CP⊥FG于P，

由两个正方形相同可知：CP=AM=AN，
∴∠AEM=∠AEN，
同理∠CGH=∠CGF，
又∠RGF=∠TEF，
∴∠DEF=∠HGF，
∴∠AEM=∠CGP，
在△CGP和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGP=∠AEM}\\{∠CPG=∠AME=90°}\\{CP=AM}\end{array}\right.$，
∴△CGP≌△AEM（AAS），
∴CG=AE，
∵CP⊥AM，
∴CG⊥AE．
综上所述，AE⊥CG，AE=CG．

点评 本题主要考查了正方形的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定与性质，难度较大，一道经典几何题．根据两个正方形相同观察出A到DE和EF的距离相等是解决本题的重要突破口和关键．