Question

7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知∠A=∠ABD，CD=1，AD=2，则
（1）点D到直线AB的距离是1；
（2）BC的长度为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD；．
（2）首先根据∠A=∠ABD，得到∠A=∠DBC=30°，从而解直角三角形确定答案．

解答 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=1，
即点D到直线AB的距离是1，
故答案为：1．

（2）∵∠ABC=2∠ABD，∠ABD=∠A，
∴∠ABC=2∠A，
∵∠C=90°，
∴∠A=∠DBC=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了角平分线的性质，解题的关键是能够利用角平分线的上的点到角的两边的距离相等确定答案，难度不大．