Question

9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=8cm，点E，F分别在$\widehat{AB}$，$\widehat{BC}$上，∠ABC=60°．
（1）分别求出∠BDC和∠BEC的度数；
（2）若OF⊥BC于点F，求OF及OD的长度．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到△ABC是等边三角形，根据等边三角形的小猪猪即可得到结论；
（2）连接OA、OB，根据△ABC是等边三角形 且 OF⊥BC，得到A、O、F三点共线  即AF⊥BC，得到∠BAF=30°，解直角三角形得到BF=4cm，AF=4$\sqrt{3}$（cm），根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=8cm，
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠BEC=120°；

（2）连接OA、OB，
∵△ABC是等边三角形 且 OF⊥BC，
∴A、O、F三点共线  即AF⊥BC，
又∵△ABC内接于⊙O，
∴OD=OA=OB，
∴在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=4cm，AF=4$\sqrt{3}$（cm），
设OF=x  则OB=OA=4$\sqrt{3}$-x，
在Rt△OBF中，根据勾股定理，知
OF²+BF²=OB²，
即x²+4²=（4$\sqrt{3}$-x）²，
解这个方程，得 x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ （cm），OB=4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$ （cm），OD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$ （cm）．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键．