Question

3．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE⊥CE，AE=2，CE=4，求BE的长．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{10}$，过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，根据余角的性质得到∠ECF=∠EAC，推出△ACE∽△CEF，根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{CE}=\frac{CF}{AE}=\frac{CE}{AC}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$，求得EF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵AE⊥CE，AE=2，CE=4，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{10}$，
过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠F=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∴∠ECF+∠ACE=∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ECF=∠EAC，
∴△ACE∽△CEF，
∴$\frac{EF}{CE}=\frac{CF}{AE}=\frac{CE}{AC}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴EF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BF=BC+CF=$\frac{14\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．