Question

17．已知：如图，矩形ABCD的一条边AB=10，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕为AO．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判定．
（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得到AD=2PC，设PC=x，则AD=2x，在RT△ADP中利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，
∴∠APO=90°，
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC，
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC，
∴△OCP∽△PDA．
（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴$\frac{CP}{DA}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴DA=2CP．设PC=x，则AD=2x，PD=10-x，AP=AB=10，
在Rt△PDA中，∵∠D=90°，PD ²+AD²=AP²，
∴（10-x）²+（2x）²=10²，
解得：x=4，
∴AD=2x=8．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，学会用方程的思想解决数学问题，属于中考常考题型．