Question

7．若关于x的方程x²-（a-3）x+a-2=0有两个不相等的整数根，求a的值．

Answer 1

分析 设x₁，x₂是方程两个不相等的整数根，于是得到x₁+x₂=a-3，x₁x₂=a-2．求得△=（a-3）²-4（a-2）=a²-10a+17=（a-5）²-8为完全平方数，列方程组即可得到结论．

解答 解：设x₁，x₂是方程两个不相等的整数根，
则x₁+x₂=a-3，x₁x₂=a-2．
∴a-3，a-2均为整数，
∴a为整数，
∴△=（a-3）²-4（a-2）=a²-10a+17=（a-5）²-8为完全平方数，
设（a-5）²-8=t²（t为整数，且t≥0），
则（a-5）²-t²=8．于是，（a-5-t）（a-5+t）=8，
由于a-5-t，a-5+t奇偶性相同，且a-5-t≤a-5+t，
∴$\left\{\begin{array}{l}\;a-5-t=-4\\ \;a-5+t=-2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\;a-5-t=2\\ \;a-5+t=4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}\;a=2\\ \;t=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\;a=8\\ \;t=1\end{array}\right.$，
经检验a=2，a=8符合要求，
∴a=2或a=8．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
也考查了二元一次方程组的解法．