Question

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，内切圆心为I，外接圆心为O，则OI=

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，如图，先根据勾股定理计算出AB=10，根据直角三角形外心为斜边的中点得到AO=

1

2

AB=5，再证明四边形IECF为正方形，设⊙I的半径为r，则CF=CE=r，根据切线长定理得到BF=BD=8-r，AE=AD=6-r，所以8-r+6-r=10，解得r=2，则AD=4，OD=AO-AD=1，然后在Rt△IOD中利用勾股定理可计算出OI．

解答：解：作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，如图，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵点O为△ABC的外心，
∴点O为斜边AB的中点，
∴AO=

1

2

AB=5，
∵∠C=90°，ID⊥AB，IE⊥AC，IF⊥BC，
而IF=IE，
∴四边形IECF为正方形，
设⊙I的半径为r，则CF=CE=r，
∴BF=BD=8-r，AE=AD=6-r，
∴8-r+6-r=10，解得r=2，
∴AD=6-2=4，
∴OD=AO-AD=1，
在Rt△IOD中，∵OD=1，ID=2，
∴OI=

OD2+ID2

=

5

．
故答案为

5

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了直角三角形的外心．