Question

如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax²+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD，直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列命题中正确命题的个数是（　　）
①abc＞0；②3a+c＞0；③-1＜k＜0；④a+b＜k；⑤0＜ac+k＜1．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断a的符号；由对称轴判断b及b与2a的关系；还可由图象上点的坐标判断．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b＜0且b=-2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
∴①abc＞0错误；②3a+c＞0正确；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）．
直线y=kx+c当x=c时，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞-1．
∴③-1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax²+bx+c的图象有两个交点
∴ax²+bx+c=kx+c，
得x₁=0，x₂=

k-b

a

．
由图象知x₂＞1，
∴

k-b

a

＞1
∴k＞a+b
∴④a+b＜k正确；
∵

2a+b=0 c(ac+b+1)=0

，
∴2a-ac=1．
∴ac=2a-1，
∵-1＜k＜0，
∴⑤令ax²+bx+c=kx+c，
∴ax+b=k，
∵b=-2a，
∴x=

k+2a

a

．
∵交点在B（2-c，0）右边，
∴

k+2a

a

＞2-c，
∴k+2a＞2a-ac，
∴ac+k＞0，
∵c＜1，
∴ac＜1．
∵-1＜k＜0，故正确．
故选D

点评：本题主要考查了抛物线的性质，二次函数的图象与系数的关系以及一次函数的性质是本题的重点．