Question

12．如图，已知：△ABC为边长是4$\sqrt{3}$的等边三角形，四边形DEFG为边长是6的正方形．现将等边△ABC和正方形DEFG按如图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，△ABC从图1的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，当点C与点F重合时暂停运动，设△ABC的运动时间为t秒（t≥0）．

（1）在整个运动过程中，设等边△ABC和正方形DEFG重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（2）如图2，当点A与点D重合时，作∠ABE的角平分线EM交AE于M点，将△ABM绕点A逆时针旋转，使边AB与边AC重合，得到△ACN．在线段AG上是否存在H点，使得△ANH为等腰三角形．如果存在，请求出线段EH的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，若四边形DEFG为边长为4$\sqrt{3}$的正方形，△ABC的移动速度为每秒$\sqrt{3}$个单位长度，其余条件保持不变．△ABC开始移动的同时，Q点从F点开始，沿折线FG-GD以每秒2$\sqrt{3}$个单位长度开始移动，△ABC停止运动时，Q点也停止运动．设在运动过程中，DE交折线BA-AC于P点，则是否存在t的值，使得PC⊥EQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分两种情况利用三角形的面积公式可以表示出：当$0≤t＜2\sqrt{3}$时，重叠部分的面积$S=\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$，当$2\sqrt{3}≤t≤6$时，用△ABC的面积-△BEH的面积即可求出重叠部分的面积；
（2）当点A与点D重合时，得出$BE=CE=2\sqrt{3}$，再由条件可以求出AN的值，分三种情况讨论求出EH的值，①AN=AH=4时，②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，③AH=NH时，此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点，从而可以求出答案．
（3）在运动中当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，可以得出t值；当2≤t≤4时，如图3，△PEC∽△QDF，可以得出t值．

解答 解：（1）当$0≤t＜2\sqrt{3}$时，如图1：

∵△ABC为等边三角形，
∴∠HCE=60°．
∴$\frac{EH}{EC}=\sqrt{3}$．
∴EC=t，EH=$\sqrt{3}t$．
∴∴△HEC的面积=$\frac{1}{2}EC•EH=\frac{1}{2}×t×\sqrt{3}t=\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$，
即：$S=\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$，
当$2\sqrt{3}≤t≤6$时，如图2所示：

过点A作AM⊥BC，垂足为M．
当2$\sqrt{3}$≤t≤6时，EC=t，则BE=4$\sqrt{3}$-t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°．
∴$\frac{HE}{BE}=\sqrt{3}$．
∴HE=$\sqrt{3}$BE，即EH=$\sqrt{3}$．
∴△BHE的面积=$\frac{1}{2}EH•BE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×（4\sqrt{3}-t）^{2}$，
∴AM=6．
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}CB•AM=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×6=12\sqrt{3}$．
∴重合部分的面积=S_△ABC-S_△BHE=$-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+12t-12\sqrt{3}$．
即：$S=-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+12t-12\sqrt{3}$．
（2）当点A与点D重合时，$BE=CE=2\sqrt{3}$，
∵BM平分∠ABE，
∴$∠MBE=\frac{1}{2}∠ABE=30°$，
∴ME=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
∵△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4
①AN=AH=4时，$EH=\sqrt{A{E}^{2}+A{H}^{2}}=2\sqrt{13}$，
②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，
∵H点不在在线段AG上，
∴舍去，
③AH=NH时，此时H点为线段AN的中垂线与AG的交点，如图3，

∴$AK=\frac{1}{2}AN=2$，$AH=\frac{AK}{cos∠HAK}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$EH=\sqrt{A{E}^{2}+A{H}^{2}}=\frac{2\sqrt{93}}{3}$．
（3）当0≤t＜2时，如图4，

△PEC∽△EFQ，
∴$\frac{PE}{EF}=\frac{EC}{QF}$，
∴$\frac{3t}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}t}{2\sqrt{3}t}$，
∴$t=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当2≤t≤4时，如图3，△PEC∽△QDE，

∴$\frac{PE}{DQ}=\frac{EC}{DE}$，
∴$\frac{12-3t}{8\sqrt{3}-2\sqrt{3}t}=\frac{\sqrt{3}t}{4\sqrt{3}}$，
∴$\sqrt{3}{t}^{2}-（6+4\sqrt{3}）t+24=0$，
∴$（\sqrt{3}t-6）（t-4）=0$，
∴t₁=4，${t}_{2}=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了求函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，根据题意画出符合题意的图形是解答本题的关键．