Question

3．已知抛物线的解析式为y=x²-（2m-1）x+m²-m．
（1）证明：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，然后利用△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数可得到结论；
（2）先把A点坐标代入y=x²-（2m-1）x+m²-m中求出m=3或4，然后分别得到m=3和m=4的抛物线解析式，利用抛物线与x轴的交点求出B点坐标，利用y轴上点的坐标特征确定C点坐标，最后根据三角形面积公式求解．

解答 （1）证明：△=（2m-1）²-4（m²-m）
=1＞0，
所以此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）把A（3，0）代入y=x²-（2m-1）x+m²-m得9-3（2m-1）+m²-m=0，
整理得m²-7m+12=0，解得m₁=3，m₂=4，
若m=3时，抛物线解析式为y=x²-5x+6，
当y=0时，x²-5x+6=0，解得x₁=2，x₂=3，则B（2，0）；当x=0时，y=x²-5x+6=6，则C（0，6），所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（3-2）×6=3；
若m=4时，抛物线解析式为y=x²-7x+12，
当y=0时，x²-7x+12=0，解得x₁=4，x₂=3，则B（4，0）；当x=0时，y=x²-7x+12=12，则C（0，12），所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（4-3）×12=6．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．解决此类问题的关键是把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为求方程ax²+bx+c=0的解的问题．