Question

2．如图，P为半径R的⊙O直径AB上的任意一点，弦CD经过点P，且∠APD=45°，已知PC²+PD²的值是一个定值，那么这个定值是2R²．

Answer 1

分析 连接OD，作OE⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=$\frac{1}{2}$CD，根据勾股定理得到CD²=4R²-2OP²，根据相交弦定理得到PC•PD=R²-OP²，运用完全平方公式计算得到答案．

解答 解：连接OD，作OE⊥CD于E，
则DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD²=4DE²=4（R²-OE²），
∵∠APD=45°，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP，
∴CD²=4DE²=4（R²-$\frac{1}{2}$OP²）=4R²-2OP²，
∵PC•PD=PB•PA=（R-OP）（R+OP）=R²-OP²，
PC²+PD²=（PC+PD）²-2PC•PD
=4R²-2OP²-2（R²-OP²）
=2R²．
故答案为：2R²．

点评 本题考查的是垂径定理、相交弦定理和勾股定理，正确作出辅助线、构造直角三角形、灵活运用定理是解题的关键．