Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）在CB的延长线上取一点G，并能使得四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；
（2）先由矩形的性质得出∠ADB=90°，进而得出DE=BE=BF=DF，所以判定四边形BEDF是菱形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=

1

2

AB，CF=

1

2

CD．
∴AE=CF．
在△AED与△CBF中，

AD=CB ∠DAB=∠C AE=CF

，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）答：当四边形AGBD是矩形时，四边形BEDF是菱形．
证明：∵四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∵F是DC中点，E为AB中点，
∴BF=DF=FC，AE=BE=DE，
∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∴ED=BE=BF=DF，
∴四边形DEBF是菱形．

点评：本题主要考查了平行四边形的基本性质和菱形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA．