Question

已知：如图，二次函数y=ax²+4的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且cos∠CAO=

2

2

．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）对于二次函数解析式，令x=0求出y的值确定出C坐标，根据题意得到三角形AOC为等腰直角三角形，确定出A坐标，代入二次函数解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F，如图1所示，由圆O与直线AC相切于点D，得到OD垂直于AC，由OA=OC，利用三线合一得到D为AC中点，进而求出DE与DF的长，确定出D坐标即可；
（3）分两种情况考虑：经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=-x-4，与抛物线解析式联立求出P坐标；经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x，与抛物线解析式联立求出P坐标即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+4的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
∵二次函数y=ax²+4的图象与x轴交于点A，cos∠CAO=

2

2

，
∴∠CAO=45°，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（-4，0），
∴0=a（-4）²+4，
∴a=-

1

4

，
∴这二次函数的解析式为y=-

1

4

x²+4；
（2）连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F，如图1所示，

∵⊙O与直线AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵OA=OC=4，
∴点D是AC的中点，
∴DE=

1

2

OC=2，DF=

1

2

OA=2，
∴点D的坐标为（-2，2）；
（3）直线OD的解析式为y=-x，如图2所示，

则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=-x-4，
解方程组

y=-x-4 y=- 1 4 x2+4

，
消去y，得x²-4x-32=0，即（x-8）（x+4）=0，
∴x₁=8，x₂=-4（舍去），
∴y=-12，
∴点P₁的坐标为（8，-12）；
直线AC的解析式为y=x+4，
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x，
解方程组

y=x y=- 1 4 x2+4

，
消去y，得x²+4x-16=0，即x=-2+2

5

，
∴x₁=-2-2

5

，x₂=-2+2

5

（舍去），
∴y=-2-2

5

，
∴点P₂的坐标为（-2-2

5

，-2-2

5

）．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．