Question

13．如图，已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD=4，点E，F分别在菱形的边AD，CD上滑动（点E，F均不与点A，C，D重合），且满足AE+CF=4．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）试探索在点E，F滑动过程中，△DEF的面积是否存在最大值？如果存在，求出这个值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得DA=DC=AB=BC=4，加上BD=4，则可判断△ABD和△BDC都是等边三角形，所以∠EDB=∠C=60°，再利用AE+CF=4可得DE=CF，于是根据“SAS”可判断△BDE≌△BCF；
（2）根据全等三角形的性质得BE=BF，∠DBE=∠FBC，由于∠DBF+∠FBC=∠DBC=60°，所以∠DBF+∠DBE=60°，于是可判断△BEF为等边三角形；
（3）根据等边三角形的面积公式得到S_△BEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²，由点E，F均不与点A，C，D重合）得到BE有最小值，没有最大值，于是判断△DEF的面积不存在最大值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴DA=DC=AB=BC=4，
而BD=4，
∴△ABD和△BDC都是等边三角形，
∴∠EDB=∠C=60°，
∵AE+CF=4，
而AE+DE=AD=4，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{∠EDB=∠FCB}\\{DB=CB}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF；
（2）解：△BEF为等边三角形．理由如下：
∵△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠DBE=∠FBC，
∵∠DBF+∠FBC=∠DBC=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°，
∴△BEF为等边三角形；
（3）解：不存在．
∵在点E，F滑动过程中，△DEF为等边三角形，
∴S_△BEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²，
∵点E，F均不与点A，C，D重合），
∴BE有最小值，没有最大值，
∴△DEF的面积不存在最大值．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形全等的判定与性质．