Question

18．某商店计划购进某型号的螺丝、螺母进行销售，有关信息如下表：

	原进价（元/个）	零售价（元/个）	成套售价（元/套）
螺丝	a	1.0	2.0
螺母	a-0.3	0.6

已知用40元购进螺丝的数量与用16元购进螺母的数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该店购进螺母数量是螺丝数量的3倍还多200个，要求两种配件的总量不超过3000个，且螺母的数量不少于500个．
①设购进螺丝x个，求x的取值范围；
②该店计划将一半的螺丝配套（一个螺丝和两个螺母配成一套）销售，其余螺丝、螺母以零售方式销售．请问：怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）依据用40元购进螺丝的数量与用16元购进螺母的数量相同可建立关于a的分式方程，解答出即可；
（2）①设购进螺丝x个，则购进螺母（3x+200）个，根据两种配件的总量不超过3000个，且螺母的数量不少于500个，可建立一元一次不等式组，求解即可；
②设当购进螺丝x个时的总利润为y元，建立关于利润的函数关系式，根据x的取值范围，解答出即可．

解答 解：（1）依题意，得$\frac{40}{a}$=$\frac{16}{a-0.3}$，
解得，a=0.5，
经检验，a=0.5是原方程的解，且符合题意；

（2）①设购进螺丝x个，则购进螺母（3x+200）个，
依题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{x+3x+200≤3000}\\{3x+200≥500}\end{array}\right.$，
解得，100≤x≤700，
即x的取值范围是100≤x≤700；
②设当购进螺丝x个时的总利润为y元，
则y=（2.0-0.5-0.2×2）×$\frac{1}{2}$x+（1.0-0.5）×$\frac{1}{2}$x+（0.6-0.2）×（2x+200）=1.6x+80，
∵k=1.6＞0，y随x的增大而增大，又由①知100≤x≤700，
∴当x=700时，y_最大=1.6×700+80=1200，此时3x+200=2300；
∴该采购员应该购进螺丝700个，螺母2300个，才能获得最大利润；最大利润是1200元．

点评 本题考查了一次函数、一元一次不等式及分式方程的应用，注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．