Question

13．如图，从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A、B、C在圆周上，
将剪下的扇形作为一个圆锥侧面，如果圆锥的高为3$\sqrt{30}$cm，则这块圆形纸片的直径为（　　）

• A． 12cm
• B． 20cm
• C． 24cm
• D． 28cm

Answer 1

分析 设这块圆形纸片的半径为R，圆锥的底面圆的半径为r，利用等腰直径三角形的性质得到AB=$\sqrt{2}$R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr=$\frac{90•π•\sqrt{2}R}{180}$，解得r=$\frac{\sqrt{2}}{4}$R，然后利用勾股定理得到（$\sqrt{2}$R）²=（3$\sqrt{30}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{4}$R）²，再解方程求出R即可得到这块圆形纸片的直径．

解答 解：设这块圆形纸片的半径为R，圆锥的底面圆的半径为r，则AB=$\sqrt{2}$R，
根据题意得2πr=$\frac{90•π•\sqrt{2}R}{180}$，解得r=$\frac{\sqrt{2}}{4}$R，
所以（$\sqrt{2}$R）²=（3$\sqrt{30}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{4}$R）²，解得R=12，
所以这块圆形纸片的直径为24cm．
故选C．

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．