Question

2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AC=4$\sqrt{3}$，求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；
（2）欲求菱形ABCD的面积，已知AC=4$\sqrt{3}$，只需求得BD的长度即可．利用平行四边形以及菱形的性质可得AC⊥CE，再解直角△ACE求出CE的长度，即为BD的长度．则利用菱形ABCD的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；

（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，
∴DB∥CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠E=∠OBA，
∴AC⊥CE．
在直角△ACE中，∵∠E=60°，AC=4$\sqrt{3}$，
∴CE=$\frac{AC}{tan∠E}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4．
∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD=CE=4，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$．

点评 本题综合考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质以及解直角三角形．证明出四边形BECD是平行四边形是解题的关键．