Question

3．如图，在正方形ABCD中，AB=4$\sqrt{2}$，AC与BD相交于点O，点P是AC上一动点，点E为射线BC上的一点，且PB=PE，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．
（1）当点F在线段AC上时，求PF=BO；
（2）设AP=x，△PBE的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）是否存在这样的P点，使得△PBE的面积是△ABC面积的$\frac{3}{8}$？如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出BC=AB=4$\sqrt{2}$，AC⊥BD，∠ACB=∠CBD=45°，由等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出∠FPE=∠OBP，由AAS证明△PEF≌△BPO，即可得出结论；
（2）作PG⊥BC于G，则PG∥AB，PG=CG，BG=EG，由平行线得出△PCG∽△ACB，得出对应边成比例求出CG=PG=4$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，得出BG=BC-CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，BE=$\sqrt{2}$x，由三角形的面积公式即可得出答案；
（3）求出△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=16，由△PBE的面积是△ABC面积的$\frac{3}{8}$得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4$\sqrt{2}$，AC⊥BD，∠ACB=∠CBD=45°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=8，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∵∠PBE=∠CBD+∠OBP，∠PEB=∠ACB+∠FPE，
∴∠FPE=∠OBP，
∵EF⊥AC，
∴∠PFE=∠BOP=90°，
在△PEF和△BPO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠BOP}&{\;}\\{∠FPE=∠OBP}&{\;}\\{PE=PB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△BPO（AAS），
∴PF=BO；

（2）解：作PG⊥BC于G，如图所示：
则PG∥AB，PG=CG，BG=EG，
∴△PCG∽△ACB，
∴$\frac{PG}{AB}=\frac{PC}{AC}$，即$\frac{PG}{4\sqrt{2}}=\frac{8-x}{8}$，
∴CG=PG=4$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴BG=BC-CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴BE=$\sqrt{2}$x，
∴△PBE的面积y=$\frac{1}{2}$BE•PG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$x×（4$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x），
即y=-$\frac{1}{2}$x²+4x（0＜x＜8）；

（3）解：存在，理由如下：
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=16，
若△PBE的面积是△ABC面积的$\frac{3}{8}$，
则=-$\frac{1}{2}$x²+4x=$\frac{3}{8}$×16=6，
解得：x=2或x=6，
即AP的长为2或6．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．