Question

9．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为O₁，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，A、B两点的坐标分别为（-1，0）和（3，0），且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线CO₁与x轴相交于点E，过点C作CF∥x轴与抛物线相交于点F．求证：四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）先利用OB=OC确定C（0，-3），再设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先把（1）中的解析式配成顶点式得到顶点为O₁的坐标为（1，-4），再利用待定系数法求出直线CO₁的解析式为y=-x-3，则可得到E（0，-3），所以AE=2，接着利用点C（0，-3）与点F关于直线x=1对称得到CF=2，所以AE=CF，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形AECF是平行四边形．

解答 （1）解：∵B（3，0），
∴OB=3，
而OC=OB，
∴C（0，-3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
（2）证明：∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点为O₁的坐标为（1，-4），
设直线CO₁的解析式为y=mx+n，
把C（0，-3）、O₁（1，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{m+n=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直线CO₁的解析式为y=-x-3，
当y=0时，y=-x-3=-3，则E（0，-3），
∴AE=-1-（-3）=2，
∵CF∥x轴，
∴点C（0，-3）与点F关于直线x=1对称，
∴CF=2，
∴AE=CF，
而AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；理解坐标与图形性质．