Question

已知方程x²+2ax+a-4=0有两个不同的实数根，方程x²+2ax+k=0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x²+2ax+a-4=0的两根之间，求k的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根的判别式

专题：

分析：由方程x²+2ax+a-4=0恒有相异两实根，则△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

1

2

）²+

15

4

]，得a为任意实数，由方程x²+2ax+k=0也有相异两实根，△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；并且它的两根介于上面方程的两根之间，可利用二次函数的图象继续求k的范围．

解答：解：∵方程x²+2ax+a-4=0有两个不同的实数根
∴△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a-

1

2

）²+15≥15．
又∵方程x²+2ax+k=0也有两个不同的实数根
∴△′=4a²-4k＞0，即k＜a² 
对于二次函数y₁=x²+2ax+a-4和y₂=x²+2ax+k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同的交点
∵y₂与x轴的两个交点都在y₁与x轴的两个交点之间
∴y₂与y轴的交点在y₁与y轴的交点上方，如图，∴k＞a-4，
∴k的取值范围是：a-4＜k＜a²．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了运用二次函数图象解决不等式的问题．